Question

19．設(shè)點(diǎn)P在曲線y=e^x上，點(diǎn)Q在直線y=x上，則|PQ|的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=e^x相切，則兩平行線間的距離即為|PQ|的最小值，由導(dǎo)數(shù)和切線的關(guān)系，再由平行線的距離公式可得最小值．

解答 解：設(shè)平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=e^x相切，
則兩平行線間的距離即為|PQ|的最小值，
設(shè)直線y=x+b與曲線y=e^x的切點(diǎn)為（m，e^m），
則由切點(diǎn)還在直線y=x+b可得e^m=m+b，
由切線斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可得e^m=1，
聯(lián)立解得m=0，b=1，
由平行線間的距離公式可得|PQ|的最小值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查平行線間的距離公式，等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．