Question

16．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求函數f（x）的單調減區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞減區(qū)間．
（2）x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[$2kπ+\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{3π}{2}$]是單調遞減區(qū)間．
即$2kπ+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{2π}{3}$，
∴函數f（x）的單調減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
結合三角函數的圖象和性質，可知：
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為2，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{5}{2}$，
故得x∈[0，$\frac{π}{4}$]上函數f（x）的值域為[2，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用．屬于中檔題．