Question

15．已知函數(shù)f（x）=blnx．
（1）當b=1時，求G（x）=x²-x-f（x）在區(qū)間[${\frac{1}{2}$，e]上的最值；
（2）若存在一點x₀∈[1，e]，使得x₀-f（x₀）＜-$\frac{1+b}{x_0}$成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把b=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)G（x）的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導函數(shù)的符號得到原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在區(qū)間[${\frac{1}{2}$，e]上的最值；
（2）構(gòu)造函數(shù)$h（x）=x-blnx+\frac{1+b}{x}$，求導后對1+b≤0和b+1＞0分段討論，然后進一步對b分段分析得答案．

解答 解：（1）當b=1時，G（x）=x²-x-f（x）=x²-x-lnx（x＞0），
$G'（x）=\frac{{（{2x+1}）（{x-1}）}}{x}$，令G'（x）=0，得x=1，
列表如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
G'（x）	-	0	+
G（x）	↓	極小值	↑

∵$G（{\frac{1}{2}}）=-\frac{1}{4}-ln\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}+ln2＜1，G（1）=0，G（e）={e^2}-e-1=e（{e-1}）-1＞1$，
∴G（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，e}]$上$G{（x）_{max}}={e^2}-e-1，G{（x）_{min}}=0$；
（2）若在[1，e]上存在一點x₀，使得${x_0}-f（{x_0}）＜-\frac{1+b}{x_0}$成立，
即在[1，e]上存在一點x₀，使得${x_0}-bln{x_0}+\frac{1+b}{x_0}＜0$成立，
設$h（x）=x-blnx+\frac{1+b}{x}$，
又$h'（x）=1-\frac{x}-\frac{1+b}{x^2}=\frac{{{x^2}-bx-（{1+b}）}}{x^2}=\frac{{（{x+1}）[{x-（{1+b}）}]}}{x^2}$，
①當1+b≤0，即b≤-1時，在x∈（0，+∞）上h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當b+1＞0，即b＞-1時，在x∈（0，1+b）上h'（x）＜0，在x∈（1+b，+∞）上，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+b）上單調(diào)遞減，在（1+b，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上所述：當b＞-1時，h（x）的遞減區(qū)間為（0，1+b）；遞增區(qū)間為（1+b，+∞）；
當b≤-1時，h（x）只有遞增區(qū)間為（0，+∞）．
∴要使得在[1，e]上存在一點x₀，使得${x_0}-bln{x_0}+\frac{1+b}{x_0}＜0$成立，
則只需要函數(shù)$h（x）=x-bln{x_0}+\frac{1+b}{x}$在[1，e]上的最小值小于零．
①當1+b≥e，即b≥e-1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
故h（x）在[1，e]上的最小值為h（e），由$h（e）=e+\frac{1+b}{e}-b＜0$，可得$b＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$，
∵$\frac{{{e^2}+1}}{e-1}＞e-1$，∴$b＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；
②當1+b≤1，即b≤0時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
故h（x）在[1，e]上最小值為h（1），由h（1）=1+1+b＜0，
可得b＜-2（滿足b≤0）；
③當1＜1+b＜e，即0＜b＜e-1時，h（x）在[1，1+b]上單調(diào)遞減，在（1+b，e]上單調(diào)遞增，
∴h（x）在[1，e]上最小值為h（1+b）=2+b-bln（1+b），
∵0＜ln（1+b）＜1，∴0＜bln（1+b）＜b，
∴2+b-bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不滿足題意，舍去．
綜上b＜-2或b＞$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
∴實數(shù)b的取值范圍為$（{-∞，-2}）∪（{\frac{{{e^2}+1}}{e-1}，+∞}）$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查分類討論、數(shù)學轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學思想方法，考查計算能力，是壓軸題．