Question

如圖，邊長為3的正方形ABCD中
（1）點E、F分別是AB、BC上的點，將△BEF，△AED，△DCF分別沿EF、DE、DF折起，使A、B、C三點重合于點P，求PD與平面EFD所成角的正弦值；
（2）當(dāng)BE=BF=

1

3

BC時，將△AED，△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點Q，求點E到平面QDF的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）為了找到PD與平面EFD所成角，需找到過點P且垂直于面EFD的垂線．由于PE=PF、DE=DF，故可取EF中點G，連DG、PG，作PH⊥DG于H，證出PH⊥平面EFD，可得PD與平面EFD所成角為∠PDG，然后在Rt△PDG中加以計算，可得PD與平面EFD所成角的正弦值；
（2）根據(jù)等體積法利用V_E-PDF=V_D-PEF，結(jié)合題意即可算出點E到平面QDF的距離．

解答： 解：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE，PE、PF是平面PEF內(nèi)的相交直線
∴DP⊥平面PEF，結(jié)合EF?平面PEF可得PD⊥EF．
取EF中點G，連經(jīng)PG、DG，作PH⊥DG于H，
∵E、F為中點，可得△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，從而DG⊥EF
同理可得EF⊥PG
又∵PG∩DG=G，∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，從而PH⊥平面DEF
∴PD與平面EFD所成角為∠PDG
∵正方形ABCD邊長為3，∴PD=3，DE=DF=

3 5

2

，EF=

3 2

2

，DG=

9 2

4

在Rt△PDG中，cos∠PDG=

PD

DF

=

3

9 2 4

=

2 2

3

，可得sin∠PDG=

1-cos2∠PDG

=

1

3

；
（1）由（1）的證明，可得DP⊥平面PEF，
∵△PEF中，PE=PF=

2

3

BC=2，EF=

2

，∴S_△PEF=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
直角△PDF的面積為S_△PDF=

1

2

×3×2=3
設(shè)點E到平面QDF的距離為d，由V_E-PDF=V_D-PEF，可得

1

3

×S△PDF×d=

1

3

×S△PEF×PD，
即

1

3

×3×d=

1

3

×

7

2

×3，解得d=

7

2

，即點E到平面QDF的距離為

7

2

．

點評：本題給出平面圖形的翻折，求線面所成的角并求點到平面的距離．著重考查了空間的垂直位置關(guān)系的判定與應(yīng)用、用等體積法求點到平面的距離等知識，屬于中檔題．