如圖,在體積為1的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P為線段AB上的動點.
(1)求證:CA1⊥C1P;
(2)當(dāng)AP為何值時,二面角C1-PB1-A1的大小為

【答案】分析:(1)先以A為原點,AC,AB,AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系,求出各點的坐標(biāo)以及對應(yīng)向量的坐標(biāo),進(jìn)而得到=0即可得到結(jié)論;
(2)分別求出兩個半平面的法向量,再代入向量的夾角計算公式即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)證明:∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC,
∴以A為原點,AC,AB,AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系.
又∵V=AB×AC×AA1=1,∴AB=2.(2分)
設(shè)AP=m,則P(0,m,0),而C1(1,0,1),C(1,0,0),A1(0,0,1),B1(0,2,1)
=(-1,0,1),=(-1,m,-1),=(-1,2,0)
=(-1)×(-1)+0×m+1×(-1)=0,
∴CA1⊥C1P.(6分)
(2)設(shè)平面C1PB1的一個法向量=(x,y,z),
令y=1,則=(2,1,m-2),(9分)
而平面A1B1P的一個法向量=(1,0,0),
依題意可知cos==
∴m=2+(舍去)或m=2-
∴當(dāng)AP=2-時,二面角C1-PB1-A1的大小為.(12分)
點評:本題主要考查用空間向量求平面間的夾角以及用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系.是對向量知識在立體幾何中應(yīng)用的綜合考察.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在體積為1的三棱錐A-BCD側(cè)棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G,使AE:EB=AF:FC=AG:GD=2:1,記O為三平面BCG、CDE、DBF的交點,則三棱錐O-BCD的體積等于( 。
A、
1
9
B、
1
8
C、
1
7
D、
1
4

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精英家教網(wǎng)如圖,在體積為1的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,P為線段AB上的動點.
(1)求證:CA1⊥C1P;
(2)求CA1與平面AB1C1所成的角的正弦值.

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(2012•藍(lán)山縣模擬)如圖,在體積為1的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P為線段AB上的動點.
(1)求證:CA1⊥C1P;
(2)當(dāng)AP為何值時,二面角C1-PB1-A1的大小為
π6
?

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如圖,在體積為1的三棱錐A—BCD的側(cè)棱AB,AC,AD上分別取點E,F,G,使AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=2∶1,記O為三平面BCG,CDE,DBF的交點,則三棱錐O—BCD的體積等于(    )

A.                   B                  C.                 D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在體積為1的三棱錐A—BCD側(cè)棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G, 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1,記O為三平面BCG、CDE、DBF的交點,則三棱錐O—BCD的體積等于        (    )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A.        B.     C.           D.

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