Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，短軸長為2．直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，又l與直線y=$\frac{1}{2}x、y=-\frac{1}{2}$x分別交于A、B兩點，其中點A在第一象限，點B在第二象限，且△OAB的面積為2（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：b=1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a²即可得出．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1-2k}，\frac{m}{1-2k}）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{-2m}{1+2k}，\frac{m}{1+2k}）$．又點A在第一象限，點B在第二象限，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m}{1-2k}＞0}\\{\frac{-2m}{1+2k}＜0}\end{array}\right.$，解得1-4k²＞0．利用兩點之間的距離公式可得|AB|=$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$．原點到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，可得m²=1-4k²，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線l的方程代入橢圓方程可得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂．

解答 解：（I）由題意可得：b=1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a²=2．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1-2k}，\frac{m}{1-2k}）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{-2m}{1+2k}，\frac{m}{1+2k}）$．
又點A在第一象限，點B在第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m}{1-2k}＞0}\\{\frac{-2m}{1+2k}＜0}\end{array}\right.$，化為：m²（1-4k²）＞0，而m²＞0，∴1-4k²＞0．
又|AB|=$\sqrt{（\frac{2m}{1-2k}+\frac{2m}{1+2k}）^{2}+（\frac{m}{1-2k}-\frac{m}{1+2k}）^{2}}$=$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$．原點到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，為△OMN的底邊AB上的高．

∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4|m|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1-4{k}^{2}}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$$\frac{2{m}^{2}}{1-4{k}^{2}}$=2，∴m²=1-4k²，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線l的方程代入橢圓方程可得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=48k²＞0，∴k≠0．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$-7．
∵$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{4}$，∴（1+2k²）∈$（1，\frac{3}{2}）$．∴$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$∈$（\frac{16}{3}，8）$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$∈$（-\frac{5}{3}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程及其性質(zhì)、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．