Question

14．設(shè)a是實(shí)數(shù)，f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）
（1）如果f（x）為奇函數(shù)，試確定a的值．
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)在0處有定義，則有f（0）=0；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)求函數(shù)的值域．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，
所以a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
因?yàn)閤∈R，所以2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1
所以-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，
所以-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
所以f（x）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性，此題單調(diào)性用定義比用導(dǎo)數(shù)容易一些，（2）中的值域主要利用反比例函數(shù)模型結(jié)合不等式的性質(zhì)求解．