6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且∠DAB=$\frac{π}{3}$,PA=PD,點E為CD邊的中點,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若∠APD=$\frac{π}{3}$,四棱錐P-ABCD的體積為2,求點A到平面PBE的距離.

分析 (1)取AD的中點F,可得EF∥AC.由ABCD是菱形,可得BD⊥AC,則BD⊥EF,結(jié)合已知BD⊥PE,可得BD⊥平面PEF,得BD⊥PF.由等腰三角形的性質(zhì)可得PF⊥AD,再由線面垂直的判定可得PF⊥平面ABCD,進(jìn)一步得到平面PAD⊥平面ABCD;
(2)設(shè)菱形ABCD的邊長為a,由四棱錐P-ABCD的體積為2列式求得a,求解直角三角形可得PE,PB,BE,進(jìn)一步求出三角形PBE的面積.利用等積法求點A到平面PBE的距離.

解答 (1)證明:如圖,取AD的中點F,連接PF,EF,
在三角形DAC中,EF∥AC.
又ABCD是菱形,∴BD⊥AC,則BD⊥EF,
又BD⊥PE,∴BD⊥平面PEF,則BD⊥PF.
又PA=PD,點F是AD邊中點,∴PF⊥AD,則PF⊥平面ABCD,
又PF?平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD;
(2)解:設(shè)菱形ABCD的邊長為a,又PA=PD,$∠APD=\frac{π}{3}$,
∴${S}_{四邊形ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$,PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∵${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}•PF=2$,∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2$,解得a=2,
在Rt△PFE中,由PF=$\sqrt{3}$,EF=$\sqrt{3}$,得PE=$\sqrt{6}$,
在Rt△PFB中,由PF=$\sqrt{3}$,BF=$\sqrt{3}$,得PB=$\sqrt{6}$.
在△PEB中,PE=$\sqrt{6}$,PB=$\sqrt{6}$,BE=$\sqrt{3}$,可得${S}_{△PBE}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$.
∵VP-ABE=VA-PBE,${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
設(shè)點A到平面PBE的距離,則$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{7}}{4}d$,得d=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$.
∴點A到平面PBE的距離為$\frac{4\sqrt{7}}{7}$.

點評 本題考查平面與平面垂直的判定,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.

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