Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx-1在x=1處有極小值-5．
（1）試求a，b的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=2m-1有3個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=0}\\{f（1）=-5}\end{array}\right.$，即可求得a和b的值；
（2）由（1）可知求得f（x）的極值，由題意可知，y=2m-1與f（x）有三個交點，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）求導(dǎo)，f′（x）=3ax²+b，
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=0}\\{f（1）=-5}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{a+b-1=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
則a=2，b=-6，
（2）由（1）可知：f（x）=2x³-6x-1，求導(dǎo)f′（x）=6x²-6，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-1，
則x，f′（x），f（x）的變化如圖所示：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值（3）	↓	極小值（-5）	↑

由x的方程f（x）=2m-1有3個不同的實根，
則y=2m-1與f（x）有三個交點，
則-5＜2m-1＜3，
解得：-2＜m＜2，
實數(shù)m的取值范圍（-2，2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查直線與函數(shù)的交點問題，屬于中檔題．