Question

14．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為1，E為A₁B₁ 的中點，則下列四個命題：
①點E到平面ABC₁D₁ 的距離為$\frac{1}{2}$；
②直線BC與平面ABC₁D₁ 所成的角等于45^°
③空間四邊形ABCD₁ 在正方體六個面內形成六個射影，其面積最小值是$\frac{1}{2}$
④AE與DC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$B₁C；在②中，BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁；在③中，在四個面上的投影或為正方形或為三角形．最小為三角形；在④中，∠EAB是AE與DC所成角．

解答 解：在①中，E∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，∴E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故①錯誤；
在②中，BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°，故②正確；
在③中，在四個面上的投影或為正方形或為三角形．最小為三角形，面積為$\frac{1}{2}$，故③正確；
在④中，∵DC∥AB，∴∠EAB是AE與DC所成角，
取AB中點F，連結EF，則AF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EAB=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．故④正確．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷，考查正方體結構特征、點到平面的距離、線面角、投影面積、異面直線所成角等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．