Question

14．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長(zhǎng)為1，E為A₁B₁ 的中點(diǎn)，則下列四個(gè)命題：
①點(diǎn)E到平面ABC₁D₁ 的距離為$\frac{1}{2}$；
②直線BC與平面ABC₁D₁ 所成的角等于45^°
③空間四邊形ABCD₁ 在正方體六個(gè)面內(nèi)形成六個(gè)射影，其面積最小值是$\frac{1}{2}$
④AE與DC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$B₁C；在②中，BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁；在③中，在四個(gè)面上的投影或?yàn)檎�方形或�(yàn)槿�角形．最小為三角形；在④中，∠EAB是AE與DC所成角．

解答 解：在①中，E∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，∴E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故①錯(cuò)誤；
在②中，BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°，故②正確；
在③中，在四個(gè)面上的投影或?yàn)檎�方形或�(yàn)槿�角形．最小為三角形，面積為$\frac{1}{2}$，故③正確；
在④中，∵DC∥AB，∴∠EAB是AE與DC所成角，
取AB中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則AF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EAB=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查正方體結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)到平面的距離、線面角、投影面積、異面直線所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．