Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+clnx（a，b，c∈R），g（x）=xcosx-sinx+1（x＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當b=-2a，c=1時，是否存在實數(shù)a，使得0＜x≤2時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤2\\ x-y-1≥0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)（含邊界）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)h（x）=ax²-（2a+1）x+1+lnx，則問題等價于x∈（0，2]時，h（x）_max≤0，通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可．

解答 解：（1）g'（x）=-xsinx，∴g'（x）＞0，即-xsinx＞0，又x＞0，
∴sinx＜0，則2kπ+π＜x＜2kπ+2π（k≥0且k∈Z），
∴g'（x）＜0，即-xsinx＜0，又x＞0，∴sinx＞0，則2kπ＜x＜2kπ+π（k≥0且k∈Z），
所以函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間為（2kπ+π，2kπ+2π），遞減區(qū)間為（2kπ，2kπ+π），其中（k≥0且k∈Z）．
（2）f（x）=ax²-2ax+lnx，依題意得0＜x≤2時，f（x）≤x-1，
即ax²-（2a+1）x+1+lnx≤0．
設(shè)h（x）=ax²-（2a+1）x+1+lnx，則問題等價于x∈（0，2]時，h（x）_max≤0，
$h'（x）=2ax-（2a+1）+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$．
（i）a≤0時，h'（1）=0；0＜x＜1時，h'（x）＞0；
x＞1時，h'（x）＜0，∴h（x）_max=h（1）=-a≤0，
∴a≥0，所以a=0，滿足要求．
（ii）a＞0時，$h'（x）=\frac{{2a（x-1）（{x-\frac{1}{2a}}）}}{x}$，
①$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時，$h'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
x∈（0，2]時，h（x）_max=h（2）=-1+ln2＜0，滿足要求；
②$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，h（x）在（0，1）和$（{\frac{1}{2a}，\;\;+∞}）上遞增$，在$（{1，\;\;\frac{1}{2a}}）$上遞減，
h（1）=-a＜0，h（2）=-1+ln2＜0，
∴x∈（0，2]時，h（x）_max＜0，滿足要求；
③$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，h（x）在$（{0，\;\;\frac{1}{2a}}）$和（1，+∞）上遞增，在$（{\frac{1}{2a}，\;\;1}）$上遞減．
$h（{\frac{1}{2a}}）=-\frac{1}{4a}+ln\frac{1}{2a}＜0$，h（2）=-1+ln2＜0，
∴x∈（0，2]時，h（x）_max＜0，滿足要求，
綜上得，存在實數(shù)a滿足題意，a的取值范圍為[0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．