Question

6．已知向量$\overrightarrow m=（{sin（\frac{π}{2}-x），-\sqrt{3}cosx}）$，$\overrightarrow n=（{sinx，cosx}）$，f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的最大值和對(duì)稱軸；
（2）討論f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的最值以及對(duì)稱軸求解即可．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=
cosxsinx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（1+cos2x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以最大值為$\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，所以對(duì)稱軸 x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z
（2）當(dāng)x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$時(shí)，$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，從而當(dāng)$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，$即\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$時(shí)，
f（x）單調(diào)遞增
當(dāng)$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π，即\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}時(shí)$，f（x）單調(diào)遞減
綜上可知f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．