Question

8．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\;（mn＜0）$的一條漸近線為y=-2x，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$
• B． $5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$
• C． $5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$
• D． $\frac{5}{4}{y^2}-5{x^2}=1$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)，可得雙曲線的焦點(diǎn)位置，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{n}$-$\frac{{x}^{2}}{-m}$=1（n＞0，m＜0），求出漸近線方程，可得n=-4m，n-m=1，解方程即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)為（0，1），
則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{n}$-$\frac{{x}^{2}}{-m}$=1（n＞0，m＜0）
則漸近線方程為y=±$\sqrt{\frac{n}{-m}}$x，
由題意可得$\sqrt{\frac{n}{-m}}$=2，
即n=-4m，
又n-m=1，
解得m=-$\frac{1}{5}$，n=$\frac{4}{5}$，
則雙曲線的方程為$\frac{5}{4}$y²-5x²=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及拋物線的焦點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．