Question

6．已知函數(shù)f（x）=me^x-lnx-1．
（1）當m=1，x∈[1，+∞）時，求y=f（x）的值域；
（2）當m≥1時，證明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求得m=1時，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域即可；
（2）：運用分析法證明，當m≥1時，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0，
思路1：設g（x）=e^x-lnx-2，求得導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明大于0即可；
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R），設h（x）=e^x-x-1，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0；證明x-lnx-1≥0．設p（x）=x-lnx-1，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證．

解答 解：（1）m=1時，f（x）=e^x-lnx-1，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
故f′（x）＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
故f（x）在[1，+∞）遞增，f（x）的最小值是f（1）=e-1，
故f（x）在值域是[e-1，+∞）；
（2）當m≥1時，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．
要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0．
以下給出三種思路證明e^x-lnx-2＞0．
思路1：設g（x）=e^x-lnx-2，則g′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$．
設h（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，則h′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
所以函數(shù)h（x）=g′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因為g′（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$-2＜0，g'（1）=e-1＞0，
所以函數(shù)g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點x₀，且x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）．
因為g'（x₀）=0時，所以${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，即lnx₀=-x₀．
當x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0．
所以當x=x₀時，g（x）取得最小值g（x₀）．
故g（x）≥g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2＞0．
綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R）．
設h（x）=e^x-x-1，則h'（x）=e^x-1．
因為當x＜0時，h'（x）＜0，當x＞0時，h'（x）＞0，
所以當x＜0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
當x＞0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（0）=0．
所以e^x≥x+1（當且僅當x=0時取等號）．
所以要證明e^x-lnx-2＞0，
只需證明（x+1）-lnx-2＞0．
下面證明x-lnx-1≥0．
設p（x）=x-lnx-1，則p′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．
當0＜x＜1時，p'（x）＜0，當x＞1時，p'（x）＞0，
所以當0＜x＜1時，函數(shù)p（x）單調(diào)遞減，當x＞1時，函數(shù)p（x）單調(diào)遞增．
所以p（x）≥p（1）=0．
所以x-lnx-1≥0（當且僅當x=1時取等號）．
由于取等號的條件不同，
所以e^x-lnx-2＞0．
綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用不等式的傳遞性和構造函數(shù)法，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．