Question

已知位于y軸右側(cè)的圓C與y相切于點(diǎn)P（0，1），與x軸相交于點(diǎn)A、B，且被x軸分成的兩段弧之比為1﹕2（如圖所示）．
 （I）求圓C的方程；
（II）若經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的直線l與圓C相交于點(diǎn)E、F，且以線段EF為直徑的圓恰好過圓心C，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)圓C被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到半徑AC和CB的長，進(jìn)而得到圓心C的坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓C的方程即可；
（II）①若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0．根據(jù)線段EF為直徑的圓恰好過圓心C，所以EC⊥FC．再利用(

1

2

|EF|)2+d2=4可求得k，從而可求直線l的方程；②若直線l斜率不存在，不滿足條件．

解答：解：（I）因?yàn)閳AC位于y軸右側(cè)，且與y相切于點(diǎn)P（0，1），所以圓心C在直線y=1上．
又圓C被x軸分成的兩段弧之比為1﹕2，所以∠ACB=

2π

3

．…．（3分）
所以PC=AC=BC=2，圓心C的坐標(biāo)為（2，1）．
所以所求圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．…（6分）
（II）①若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0．
因?yàn)榫�段EF為直徑的圓恰好過圓心C，所以EC⊥FC．
因此|EF|=2

2

．…（8分）
∵圓心C（2，1）到直線l的距離d=

|2k-1-k|

1+k2

=

|k-1|

1+k2

．
∴由(

1

2

|EF|)2+d2=4得k=-1．
故所求直線l的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0．…（11分）
②若直線l斜率不存在，此時(shí)直線l的方程為x=1，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為(1，1-

3

)、(1，1+

3

)，不滿足條件．…..（13分）
故所求直線的方程為x+y-1=0．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程、圓的求解，同時(shí)考查分類討論數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是利用好圓的性質(zhì)．