Question

6．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D為為邊BC的中點，AB=4，AA₁=2．
（1）若點E是B₁C₁的中點，求證A₁E∥平面ADB₁；
（2）求證：平面ADC₁⊥平面ADB₁．

Answer 1

分析 （1）連接ED，運用平行四邊形的判定和性質(zhì)，可得A₁E∥AD，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運用直角三角形的勾股定理及逆定理，證得AD⊥DC₁，同理可得AD⊥DB₁，可得∠C₁DB₁為C₁-AD-B₁的平面角，再由面面垂直的定義，即可得證．

解答 證明：（1）連接ED，
由點D為為邊BC的中點，點E是B₁C₁的中點，可得ED=C₁C，
ED∥C₁C，又A₁A=C₁C，A₁A∥C₁C，
則ED∥A₁A，ED=A₁A，
即有四邊形EDAA₁為平行四邊形，
可得A₁E∥AD，
A₁E?平面ADB₁，AD?平面ADB₁，
則A₁E∥平面ADB₁；
（2）在直角△A₁AC₁中，AC₁=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，
在正三角形ABC中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在直角△CA₁DC₁中，DC₁=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
由AD²+DC₁²=AC₁²，可得AD⊥DC₁，
同理可得AD⊥DB₁，
可得∠C₁DB₁為C₁-AD-B₁的平面角，
在三角形DB₁C₁中，DB₁=DC₁=2$\sqrt{2}$，B₁C₁=4，
可得∠C₁DB₁=90°，
即有二面角C₁-AD-B₁為直二面角，
故平面ADC₁⊥平面ADB₁．

點評 本題考查線面平行的判定定理的運用，以及面面垂直的判定，注意運用定義法，考查平面幾何的有關(guān)定理，主要是勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．