Question

4．已知函數(shù)f（x）=4sin$\frac{ω}{2}xcos（{\frac{ω}{2}x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$（ω＞0）．
（Ⅰ）若ω=3，求f（x）在區(qū)間$[{\frac{5π}{9}，\frac{8π}{9}}]$上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，ω=3，求出f（x）解析式，x∈$[{\frac{5π}{9}，\frac{8π}{9}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，
（2）圖象過（$\frac{2π}{9}$，$\sqrt{3}$）帶入即可求出ω的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sin$\frac{ω}{2}xcos（{\frac{ω}{2}x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$（ω＞0）．
化解可得：f（x）=4sin$\frac{ω}{2}$x（$\frac{1}{2}cos\frac{ω}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{ω}{2}x$）$-\sqrt{3}$
=2sin$\frac{ω}{2}$xcos$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin²$\frac{ωx}{2}$$-\sqrt{3}$
═sinωx+$\sqrt{3}$（1-cosωx）$-\sqrt{3}$
=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx
=2sin（$ωx-\frac{π}{3}$）
（I）∵ω=3，
∴$f（x）=2sin（{3x-\frac{π}{3}}）$．
∵$\frac{5π}{9}≤x≤\frac{8π}{9}$，
∴$\frac{4π}{3}≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{3}$．
所以，當(dāng)$3x-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，即$x=\frac{11π}{18}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-2．
（II）圖象過（$\frac{2π}{9}$，$\sqrt{3}$）
即$f（\frac{2π}{9}）=\sqrt{3}$，
故而$sin（{\frac{2π}{9}ω-\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
$\frac{2π}{9}ω-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{3}或2kπ+\frac{2π}{3}，k∈{Z}則ω=3+9k或\frac{9}{2}+9k，k∈Z$．
又由圖象可知，$\frac{2π}{9}＜\frac{T}{2}$，即$T＞\frac{4π}{9}$，
所以$ω＜\frac{9}{2}$
又因?yàn)棣兀?，所以ω=3．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．