Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0））的漸近線與圓（x-3）²-y²=4相切，且雙曲線以該圓的圓心為焦點，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程分析可得其漸近線方程，由圓的方程可得圓心坐標以及半徑，進而分析可得c=r=2，即a²+b²=4和$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，解可得a、b的值，將其代入雙曲線的方程計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即bx±ay=0，
圓（x-3）²-y²=4的圓心為（3，0），半徑r=2，
由于雙曲線以該圓的圓心為焦點，則有c=r=2，即a²+b²=4，
又由雙曲線的漸近線與圓（x-3）²-y²=4相切，則有$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，解可得b=2，
則a²=5；
故雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程．