Question

某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健身室（如圖所示），ABCD是一塊邊長(zhǎng)為50m的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，其半徑為40m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請(qǐng)將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點(diǎn)H在何處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：延長(zhǎng)GH交CD于N，則NH=40sinθ，CN=40cosθ．將面積表示為S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）．利用三角函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)并利用二次函數(shù)求出最值．從而解得本題

解答： 解：延長(zhǎng)GH交CD于N，則NH=40sinθ，CN=40cosθ．
∴HM=ND=50-40cosθ．AM=50-40sinθ．
∴S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）
=100[25-20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ]，（0≤θ≤

π

2

）
令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，
則sinθcosθ=

t2-1

2

，且t∈[1，

2

]．
∴S=100[25-20t+8（t²-1）]
=800(t-

5

4

)2+450．
又∵t∈[1，

2

]，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S取最大值500．
此時(shí)，

2

sin(θ+

π

4

)=1，
∴sin(θ+

π

4

)=

2

2

．
∵

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴θ+

π

4

=

π

4

或

3π

4

即θ=0或θ=

π

2

．
答：當(dāng)點(diǎn)H在

EF

的端點(diǎn)E或F處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積為500m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)求最值等知識(shí)的綜合運(yùn)用．屬于中檔題．