Question

14．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．設O是坐標原點，直線l'平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．若存在常數(shù)λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，則λ=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的短軸端點C與左右焦點F₁、F₂構成等腰直角三角形，結合直線l與橢圓E只有一個交點，利用判別式△=0，即可求出橢圓E的方程和點T的坐標，設出點P的坐標，根據(jù)l′∥OT，寫出l′的參數(shù)方程，代入橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|²、|PA|和|PB|，由|PT|²=λ|PA|•|PB|求出λ的值．

解答 解：設短軸一端點為C（0，b），左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c＞0，
則c²+b²=a²；
由題意，△F₁F₂C為直角三角形，
∴丨F₁F₂丨²=丨F₁C丨²+丨F₂C丨²，解得b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1；
代入直線l：y=-x+3，可得3x²-12x+18-2b²=0，
又直線l與橢圓E只有一個交點，則△=12²-4×3（18-2b²）=0，解得b²=3，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由b²=3，解得x=2，則y=-x+3=1，所以點T的坐標為（2，1）；
（Ⅱ）設P（x₀，3-x₀）在l上，由k_OT=$\frac{1}{2}$，l′平行OT，
得l′的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+2t}\\{y=3-{x}_{0}+t}\end{array}\right.$，
代入橢圓E中，得（x₀+2t）²+2（3-x₀+t）²=6，
整理得2t²+4t+${x}_{0}^{2}$-4x₀+4=0；
設兩根為t_A，t_B，則有t_A•t_B=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}}{2}$；
而|PT|²=（ $\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（3-{x}_{0}-1）^{2}}$）²=2（x₀-2）²，
|PA|=$\sqrt{[{（x}_{0}+2{t}_{A}）-{x}_{0}]^{2}+[（3-{x}_{0}+{t}_{A}）-（3-{x}_{0}）^{2}]^{2}}$=|$\sqrt{5}$t_A|，
同理可知：|PB|=|$\sqrt{5}$ t_B|，
且|PT|²=λ|PA|•|PB|，
∴λ=$\frac{丨PT{丨}^{2}}{丨PA丨•丨PB丨}$=$\frac{2（{x}_{0}-2）^{2}}{\frac{5}{2}（{x}_{0}-2）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，考查了參數(shù)方程的應用問題，是難題．