Question

7．給出命題p：方程$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2-a}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．
（1）如果命題p為真，求a的取值范圍；
（2）如果命題“p∪q”為真，“p∩q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真，則2-a＞a＞0，解得：a的取值范圍；
（2）如果命題“p∪q”為真，“p∩q”為假，則p，q中一真一假，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）命題p為真?2-a＞a＞0?0＜a＜1…（4分）
（2）命題q為真$?△={（2a-3）^2}-4＞0?a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}$
命題“p∨q”為真，“p∧q”為假?p，q中一真一假，…（6分）
當(dāng)p真q假時(shí)，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{2}≤a＜1$…（8分）
當(dāng)p假q真時(shí)，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$a≤0或a＞\frac{5}{2}$
所以a的取值范圍是$\frac{1}{2}≤a＜1$或$a≤0或a＞\frac{5}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．