Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$（a≥0）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）有極值時(shí)，若對(duì)?x＞0，f（x）≤（2016-a）x³+$\frac{{x}^{2}+a-1}{x+1}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{1}{{x}^{3}}$（x-1-lnx）+2016，設(shè)h（x）=x-1-lnx，根據(jù)函數(shù)讀法單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=3時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{（x+1）}^{2}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{4}$；
（2）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（2-a）x-1}{{x（x+1）}^{2}}$，（x＞0），
令g（x）=x²-（2-a）x-1，
△=（2-a）²+4＞0，g（x）≥0，
令f′（x）=0，則x₁=$\frac{a-2-\sqrt{{（a-2）}^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{a-2+\sqrt{{（a-2）}^{2}+4}}{2}$＞0，
則函數(shù)在（0，$\frac{a-2+\sqrt{{（a-2）}^{2}+4}}{2}$）遞減，在（$\frac{a-2+\sqrt{{（a-2）}^{2}+4}}{2}$，+∞）遞增，
（3）由（1）得，a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有極值，
f（x）≤（2016-a）x³+$\frac{{x}^{2}+a-1}{x+1}$可化為ax³≤x-1-lnx+2016x³，
∵x＞0，∴a≤$\frac{1}{{x}^{3}}$（x-1-lnx）+2016，
設(shè)h（x）=x-1-lnx，（x＞0），則h′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故x＞0時(shí)，h（x）≥h（1）=0，∴$\frac{1}{{x}^{3}}$（x-1-lnx）+2016≥2016，
故a≤2016，又a＞4，
∴a的范圍是（4，2016]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．