Question

8．若數(shù)列{a_n}滿足：對任意的n∈N^*，只有有限個正整數(shù)m使得a_m＜n成立，記這樣的m 的個數(shù)為（a_n）^*，若將這些數(shù)從小到大排列，則得到一個新數(shù)列{（a_n）^*}，我們把它叫做 數(shù)列{a_n}的“星數(shù)列”．已知對于任意的n∈N^*，a_n=n²給出下列結論：
①數(shù)列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星數(shù)列”的前100之和為5050；
②（a₅）^*=2；
③數(shù)列（a_n）^*的前n²項和為2n²-3n+1；
④{a_n}的“星數(shù)列”的“星數(shù)列”的通項公式為（（a_n）^*）^*=n²
以上結論正確的是②④．（請寫出你認為正確的所有結論的序號）

Answer 1

分析 ①，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1，數(shù)列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星數(shù)列”的前100之和為0+1+2+…+99；
②，數(shù)列{n²}是1，4，9，16，…，只有a₁、a₂＜5，故（a₅）^*=2，
③，當n=4時，進行驗證即可判定．
④，對任意的n∈N^*，a_n=n²，可得（a₁）*=0，（a₂）*=1=（a₃）*=（a₄）*，（a₅）*=2=…=（a₉）*，…，可得（（a₁）*）*=1，（（a₂）*）*=4，（（a₃）*）*=9，…，即可猜想出

解答 解：對于①，∵$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{n}^{2}}{n}=n$，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1，數(shù)列{ $\frac{{a}_{n}}{n}$}^*的“星數(shù)列”的前100之和為0+1+2+…+99≠5050，故錯；
對于②，數(shù)列{n²}是1，4，9，16，…，只有a₁、a₂＜5，故（a₅）^*=2正確，
對于③，當n=4時，數(shù)列（a_n）^*的前16項分別為：0，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，其和不滿足2n²-3n+1，故錯
對于④，對任意的n∈N^*，a_n=n²，可得（a₁）*=0，（a₂）*=1=（a₃）*=（a₄）*，（a₅）*=2=…=（a₉）*，…，可得（（a₁）*）*=1，（（a₂）*）*=4，（（a₃）*）*=9，…，猜想（（a_n）^*）^*=n²．故正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查了遞推關系的應用、數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的性質和應用，關鍵是對題意的理解．在選擇題中合理地進行猜想，往往能有效地簡化運算考查了猜想能力、計算能力，屬于中檔題