6.對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x),若存在x0∈D,對(duì)任意的x∈D,都有f(x)≥f(x0),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有“下界”,把f(x0)稱(chēng)為函數(shù)f(x)在D上的“下界”.
(1)分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”?如果有,寫(xiě)出“下界”,否則請(qǐng)說(shuō)明理由;f1(x)=1-2x(x>0),f2(x)=x+$\frac{16}{x}$(0<x≤5).
(2)請(qǐng)你類(lèi)比函數(shù)有“下界”的定義,寫(xiě)出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有“上界”的定義;并判斷函數(shù)f2(x)=|x-$\frac{16}{x}$|(0<x≤5)是否有“上界”?說(shuō)明理由;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上既有“上界”又有“下界”,則稱(chēng)函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“有界函數(shù)”,把“上界”減去“下界”的差稱(chēng)為函數(shù)f(x)在D上的“幅度M”.
對(duì)于實(shí)數(shù)a,試探究函數(shù)F(x)=x|x-2a|+3(a≤$\frac{1}{2}$)是否是[1,2]上的“有界函數(shù)”?如果是,求出“幅度M”的值.

分析 (1)根據(jù)f(x0)稱(chēng)為函數(shù)f(x)在D上的“下界”的定義,判斷即可;
(2)類(lèi)比函數(shù)有“下界”的定義,寫(xiě)出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有“上界”的定義;通過(guò)討論x的范圍,判斷函數(shù)f2(x)是否有“上界”即可;
(3)求出F(x)的分段函數(shù)式,討論①當(dāng)a≤0時(shí),②當(dāng)0<a≤$\frac{1}{2}$時(shí),函數(shù)的解析式和對(duì)稱(chēng)軸,與區(qū)間的關(guān)系,由單調(diào)性即可得到最值和幅度M的值.

解答 解:(1)∵f1(x)=1-2x(x>0),∴f1(x)<1,無(wú)“下界”,
∵f2(x)=x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)“=”成立(0<x≤5).
∴f2(x)=x+$\frac{16}{x}$(0<x≤5)有“下界”;
(2)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x),若存在x0∈D,對(duì)任意的x∈D,都有f(x)≤f(x0),
則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有“上界”,把f(x0)稱(chēng)為函數(shù)f(x)在D上的“上界”.
f2(x)=|x-$\frac{16}{x}$|(0<x≤5),
0<x<4時(shí),x-$\frac{16}{x}$<0,
f2(x)=$\frac{16}{x}$-x,f2′(x)=-$\frac{16}{{x}^{2}}$-1<0,
f2(x)在(0,4)遞減,
x→0時(shí),f2(x)→+∞,無(wú)“上界”,
4≤x≤5時(shí),x-$\frac{16}{x}$>0,
f2(x)=x-$\frac{16}{x}$,f2′(x)=1+$\frac{16}{{x}^{2}}$>0,
f2(x)=x-$\frac{16}{x}$在[4,5]遞增,f2(x)≤f2(5)=$\frac{9}{5}$,
綜上,函數(shù)f2(x)=|x-$\frac{16}{x}$|(0<x≤5)無(wú)“上界”;
(3)F(x)=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2ax+3,x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax+3,x>2a}\end{array}\right.$,
①當(dāng)a≤0時(shí),F(xiàn)(x)=x2-2ax+3對(duì)稱(chēng)軸為x=a,在[1,2]遞增,
F(x)max=F(2)=7-4a,F(xiàn)(x)min=F(1)=4-2a,
幅度M=F(2)-F(1)=3-2a;
②當(dāng)0<a≤$\frac{1}{2}$時(shí),F(xiàn)(x)=x2-2ax+3,
區(qū)間[1,2]在對(duì)稱(chēng)軸的右邊,為增區(qū)間,
F(x)max=F(2),F(xiàn)(x)min=F(1),
幅度M=F(2)-F(1)=3-2a.
綜上可得是[1,2]上的“有界函數(shù)”,
“幅度M”的值為3-2a.

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和應(yīng)用,考查二次函數(shù)的最值的求法,注意單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.

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