Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AP⊥BC，AB=BC=1，AD=AP=2，E是PD的中點．
（1）求異面直線AE與CD所成角的大小；
（2）求直線BP與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{CD}$所成角，可得異面直線AE與CD所成角的大�。�
（2）求出$\overrightarrow{BP}$的坐標，再求出平面PCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{BP}$與$\overrightarrow{n}$的余弦值可得直線BP與平面PCD所成的角的正弦值．

解答 解：（1）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∵E為PD的中點，∴點E為（0，1，1），$\overrightarrow{AE}=（{0，1，1}）$，$\overrightarrow{CD}=（{-1，1，0}）$，
則cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=60°，
即異面直線AE與CD所成的角為60°．
（2）設(shè)平面PCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{PD}=（{0，2，-2}），\overrightarrow{CD}=（{-1，1，0}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x+y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得x=1，z=1．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）是平面PCD的一個法向量．
$\overrightarrow{BP}=（{-1，0，2}）$，$|{\overrightarrow{BP}}|=\sqrt{5}，|n|=\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$，
故直線BP與平面PCD所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

點評 本題考查線線角與線面角，訓(xùn)練了利用空間向量求異面直線所成角與直線和平面所成角，是中檔題．