Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a1=10，a_n-10≤a_n+1≤a_n+10（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n-10≤S_n+1≤S_n+10（n∈N^*），求公差d的取值集合；
（2）若a₁，a₂，…，a_k成的比數(shù)列，公比q是大于1的整數(shù)，且a₁+a₂+…+a_k＞2017，求正整數(shù)k的最小值；
（3）若a₁，a₂，…，a_k成等差數(shù)列，且a₁+a₂+…+a_k=100，求正整數(shù)k的最小值及k取最小值時公差d的值．

Answer 1

分析 （1）先化簡已知的式子可得-10≤a_n+1≤10，由等差數(shù)列的通項公式化簡后求出d的范圍，由恒成立求出公差d的取值集合；
（2）由a_n+1≤a_n+10且a₁=10得，a₂=10q≤20，求出q的范圍，結(jié)合條件求出q的值，由等比數(shù)列的前n項和公式化簡“a₁+a₂+…+a_k＞2017”，求出k的范圍，可得正整數(shù)k的最小值；
（3）由條件和等差數(shù)列的前n項和公式化簡“a₁+a₂+…+a_k=100”，求出d的表達式，由“a_n-10≤a_n+1≤a_n+10”和等差數(shù)列的定義列出不等式，由一元二次不等式的解法求出k的范圍，可得到答案．

解答 解：（1）由S_n-10≤S_n+1≤S_n+10得，-10≤a_n+1≤10，
又a₁=10，∴-10≤10+nd≤10，
即$-\frac{20}{n}≤d≤0$對任意的n∈N^*恒成立，
∴d=0，即公差d的取值集合是{0}；
（2）∵a_n+1≤a_n+10，且a₁=10，∴a₂=10q≤20，則q≤2，
∵公比q是大于1的整數(shù)，∴q=2，
∴a₁+a₂+…+a_k=$\frac{10（1-{2}^{k}）}{1-2}$=10（2^k-1）≥2017，
化簡得，2^k≥202.7，解得k≥8，
即正整數(shù)k的最小值是8；
（3）由條件得，a₁+a₂+…+a_k=10k+$\frac{k（k-1）}{2}d$=100，
解得d=$\frac{200-20k}{k（k-1）}$，
∵a_n-10≤a_n+1≤a_n+10，∴-10≤a_n+1-a_n≤10，
∴-10≤$\frac{200-20k}{k（k-1）}$≤10，
化簡得，-k²+k≤20-2k≤k²-k，
解得k≥4，
即k的最小值是4，此時d=10．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式，等比數(shù)列的前n項和公式等，考查化簡、變形能力，分析問題和解決問題的能力．