Question

2．定義新運算：$|{\begin{array}{l}{a_1}&{a_2}\\{{a_3}}&{a_4}\end{array}}|={a_1}{a_4}-{a_2}{a_3}$，若函數(shù)$f（x）=|{\begin{array}{l}{\sqrt{3}cosx}&{-1}\\{{{sin}^2}x}&{sinx}\end{array}}|$，則下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π
• B． 函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心為$（\frac{7π}{12}，\frac{1}{2}）$
• C． 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞增
• D． 將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)新定義寫出y=f（x）的解析式并化簡，再判定四個選項是否正確．

解答 解：根據(jù)新定義知，
函數(shù)$f（x）=|{\begin{array}{l}{\sqrt{3}cosx}&{-1}\\{{{sin}^2}x}&{sinx}\end{array}}|$
=$\sqrt{3}$cosxsinx+sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
對于A，函數(shù)y=f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，A正確；
對于B，函數(shù)y=f（x）的對稱中心為 （$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），k∈Z，
∴$（\frac{7π}{12}，\frac{1}{2}）$是f（x）的一個對稱中心，B正確；
對于C，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，
單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，C錯誤；
對于D，函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為
y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=-cos2x，是偶函數(shù)，D正確．
故選：C．

點評 本題考查了新定義函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．