Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
參考公式：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ，利用n=1時(shí)，a₁=S₁=3．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*），即b_n+1-b_n=2n-1．利用“累加求和”方法、等差數(shù)列的求和公式即可得出．
（3）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1²+2²+3²+…+n²-2（1+2+…+n），利用已知參考公式及其等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=3．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n∈N^*），即b_n+1-b_n=2n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-3）+（2n-5）+…+3+1-1
=$\frac{n（2n-3-1）}{2}$=n²-2n．
（3）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1²+2²+3²+…+n²-2（1+2+…+n）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-2×$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+1）（2n-5）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“累加求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系、已知求和式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．