Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂的公共的左、右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形，若橢圓C₁的離心率e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]．則雙曲線C₂的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{3}{2}，4}]$
• B． $[{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． （1，4]
• D． $[{\frac{5}{4}，\frac{5}{3}}]$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，離心率${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$．橢圓與雙曲線的半焦距為c．由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，可得$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，利用e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1，離心率${e}_{1}=\frac{c}{{a}_{1}}$．
橢圓與雙曲線的半焦距為c．
由橢圓的定義及其題意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．
由雙曲線的定義可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，
∴$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，
∵e∈[${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]，∴$\frac{1}{e}$∈$[\frac{9}{4}，\frac{8}{3}]$，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$∈$[\frac{1}{4}，\frac{2}{3}]$．
∴e₁∈$[\frac{3}{2}，4]$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．