Question

8．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x-x+a，x∈R．
（1）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最值；
（2）求證：當a＞-1，且x＞0時，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；
（2））令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+ax-1，g'（x）={e^x}-x+a$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出g（x）＞g（0），證出結論即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，則x=0，
x∈（-1，0），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以，f（x）_min=f（0）=1+a；
又因為$f（-1）={e^{-1}}+1+a，f（2）={e^2}-2+a，f（-1）-f（2）=\frac{1}{e}-3-{e^2}＜0$，
所以$f{（x）_{max}}=f（2）={e^2}-2+a$．
（2）證明：令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}+ax-1，g'（x）={e^x}-x+a$，
由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，
所以g（x）在（0，+∞）單調遞增，
所以g（x）＞g（0）=0，
所以，當a＞-1，且x＞0時，${e^x}＞\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．