Question

3．對(duì)某一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，采取一件一件地抽查．若抽查4件未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品合格．若在查到第四件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品也停止檢查，并認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．假定合格概率為0.9；
（1）求該隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）通過(guò)抽樣檢查，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格的概率．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)知X=1，2，3，4，可得：P（X=1）=1-0.9=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$，P（X=3）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$，P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）．進(jìn)而得到隨機(jī)變量 X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（2）認(rèn)為該批量產(chǎn)品合格的概率是$（\frac{9}{10}）^{4}$，利用相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得：從而該批量產(chǎn)品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$．

解答 解：（1）由題設(shè)知X=1，2，3，4，
P（X=1）=1-0.9=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=3）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{81}{1000}$，P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）=$\frac{729}{1000}$．
∴隨機(jī)變量 X的分布列

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{81}{1000}$	$\frac{729}{1000}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=$1×\frac{1}{10}$+2×$\frac{9}{100}$+3×$\frac{81}{1000}$+4×$\frac{729}{1000}$=3.439．
（2）認(rèn)為該批量產(chǎn)品合格的概率是$（\frac{9}{10}）^{4}$，
從而該批量產(chǎn)品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$=0.3439．
∴認(rèn)為該批量產(chǎn)品不合格的概率是0.3439．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．