Question

12．設(shè)非零向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角是$\frac{2π}{3}$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，則$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$，根據(jù)數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，從而得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，計(jì)算$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$的平方得出關(guān)于t的函數(shù)，從而得出最小值．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow}^{2}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow$|²，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，
∴-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow$|²=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，
∴（$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$）²=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}}{{\overrightarrow}^{2}}$=t²-2t+4=（t-1）²+3，
∴當(dāng)t=1時(shí)，$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$取得最小值$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．