Question

17．如圖，某地區(qū)有四個公司分別位于矩形ABCD的四個頂點，且AB=1km，BC=2km，四個公司商量準備在矩形空地中規(guī)劃一個三角形區(qū)域AMN種植花草，其中M，N分別在直線BC，CD上運動，∠MAN=30°，設∠BAM=α，當三角AMN的面積最小時，此時α=（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由已知可求AM=$\frac{1}{cosα}$，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$，可求三角形面積，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡得到S_△AMN關于α的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質結合α的范圍即可計算得解．

解答 解：由于：∠BAM=α，
由題意可知，AM=$\frac{1}{cosα}$，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$，
則S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ANsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{cosα}$×$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}co{s}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}cos2α+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α）+\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{2sin（2α+\frac{π}{6}）+1}$，
當$α=\frac{π}{6}$時，三角形AMN面積最�。�
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角形的面積公式，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．