Question

12．已知曲線$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+alnx+a}}{x}$在點（e，f（e））處的切線與直線2x+e²y=0平行，a∈R．
（1）求a的值；
（2）求證：$\frac{f（x）}{x}＞\frac{a}{e^x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a的值；
（2）求出f（x）的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值點，討論①當x∈（0，1）時，②當x∈[1，+∞）時，求出最值，構(gòu)造令$g（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+alnx+a}}{x}$的導數(shù)為
$f'（x）=\frac{{-{{ln}^2}x+（2-a）lnx}}{x^2}$，
由切線與直線2x+e²y=0平行，
可得切線的斜率k=$f'（e）=\frac{-1+2-a}{e^2}=-\frac{2}{e^2}⇒a=3$；
（2）證明：$f（x）=\frac{{{{ln}^2}x+3lnx+3}}{x}$，導數(shù)$f'（x）=\frac{-lnx（lnx+1）}{x^2}$，
$f'（x）＞0⇒\frac{1}{e}＜x＜1$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{e}$或x＞1．
故f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$和（1，+∞）上遞減，在$（\frac{1}{e}，1）$上遞增，
①當x∈（0，1）時，$f（x）≥f（\frac{1}{e}）=e$，
而$（\frac{3x}{e^x}）'=\frac{3（1-x）}{e^x}$，故$\frac{3x}{e^x}$在（0，1）上遞增，
∴$\frac{3x}{e^x}＜\frac{3}{e}＜e$，∴$f（x）＞\frac{3x}{e^x}$即$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$；
②當x∈[1，+∞）時，ln²x+3lnx+3≥0+0+3=3，
令$g（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}$，則$g'（x）=\frac{{3（2x-{x^2}）}}{e^x}$故g（x）
在[1，2）上遞增，（2，+∞）上遞減，
∴$g（x）≤g（2）=\frac{12}{e^2}＜3$，
∴${ln^2}x+3lnx+3＞\frac{{3{x^2}}}{e^x}$即$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$；
綜上，對任意x＞0，均有$\frac{f（x）}{x}＞\frac{3}{e^x}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，以及分類討論的思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題．