Question

8．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（ a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)重合，它們在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且PF與x軸垂直，則橢圓的離心率為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 由拋物線的方程算出拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），由TF⊥x軸算出點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），得到橢圓的半焦距c=1且點(diǎn)P（1，2）在橢圓上，由此建立關(guān)于a、b的方程組解出a=$\sqrt{2}$+1，由橢圓的離心率加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），
又∵拋物線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為T，且TF⊥x軸，
∴設(shè)P（1，y₀），代入拋物線方程得y₀²=4×1=4，得y₀=2（舍負(fù)）．
因此點(diǎn)P（1，2）在橢圓上，橢圓的半焦距c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$，解之得a²=3+2$\sqrt{2}$，b²=2+2$\sqrt{2}$，
由此可得a=$\sqrt{2}$+1，橢圓的離心率e=$\sqrt{2}$-1．
故答案為$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題給出拋物線的焦點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，它們在第一象限的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．