Question

10．到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的（　　）

• A． 垂心
• B． 內(nèi)心
• C． 外心
• D． 重心

Answer 1

分析 設(shè) G 是三角形 ABC 的重心，P 是平面上任一點(diǎn)，則|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²+|$\overrightarrow{PC}$|²=|$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}$|²=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²），由此推導(dǎo)出到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的重心．

解答 解：到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的重心．
證明如下：
設(shè) G 是三角形 ABC 的重心，P 是平面上任一點(diǎn)，
則|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²+|$\overrightarrow{PC}$|²
=|$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}$|²
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2（$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{PG}•\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{PG}•\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2$\overrightarrow{PG}$•（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）+2$\overrightarrow{PG}$•（$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$）
=3|$\overrightarrow{PG}$|²+（|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²）
≥|$\overrightarrow{GA}$|²+|$\overrightarrow{GB}$|²+|$\overrightarrow{GC}$|²，
當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{PG}$|=0 即 P 與 G 重合時(shí)，P 到三角形 ABC 的距離的平方和最�。�
∴到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的重心．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查三角形五心\向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．