Question

16．給出下列命題：其中正確命題的序號(hào)是①③ （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）
①函數(shù)f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一個(gè)對(duì)稱中心為（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$；
④點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，則點(diǎn)O是三角形ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 ①根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱中心在x軸上可判斷；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，但不一定在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不一定tanα＞tanβ；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，可判斷兩向量共線且方向，根據(jù)共線定理可判斷；
④根據(jù)題意，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，可得OB⊥CA，可判斷為垂心．

解答 解：①f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∵f（-$\frac{5π}{12}$）=0，
∴（-$\frac{5π}{12}$，0）是函數(shù)的對(duì)稱中心；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，不一定tanα＞tanβ，比如2π$+\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$，故錯(cuò)誤；
③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|，則兩向量共線且方向，故存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$，故正確；
④點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$
=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，
∴OB⊥CA，
同理可得OA⊥BC，
則點(diǎn)O是三角形ABC的垂心，故錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 考查了余弦函數(shù)的中心對(duì)稱，向量的共線和數(shù)量積等概念，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．