Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）當(dāng)，時(shí)，，所以，，所以，由此求得切線方程為；（II）當(dāng)時(shí)，，要證明的不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)求得左邊函數(shù)的最小值為．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，

，∴，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

所以不等式等價(jià)于

方法一：令，

則．

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以根據(jù)題意，則有，∴．

當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)在上單調(diào)遞減；

由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以．

由條件知，即．

設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞減．

又，所以與條件矛盾．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

方法二：令，

則在上恒成立，所以，

所以．

又，

顯然當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以．

綜上可知的取值范圍為．