Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A₁DE（A₁∉平面ABCD），若M、O分別為線段A₁C、DE的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 與平面A₁DE垂直的直線必與直線BM垂直
• B． 異面直線BM與A₁E所成角是定值
• C． 一定存在某個(gè)位置，使DE⊥MO
• D． 三棱錐A₁-ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值

Answer 1

分析 對于A，延長CB，DE交于H，連接A₁H，運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，可得BM∥平面A₁DE，即可判斷A；
對于B，運(yùn)用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，即可判斷B；
對于C，連接A₁O，運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可得AC與DE垂直，即可判斷C；
對于D，由直角三角形的性質(zhì)，可得三棱錐A₁-ADE外接球球心為O，即可判斷D．

解答 解：對于A，延長CB，DE交于H，連接A₁H，由E為AB的中點(diǎn)，
可得B為CH的中點(diǎn)，又M為A₁C的中點(diǎn)，可得BM∥A₁H，BM?平面A₁DE，
A₁H?平面A₁DE，則BM∥平面A₁DE，故與平面A₁DE垂直的直線必與直線BM垂直，則A正確；
對于B，設(shè)AB=2AD=2a，過E作EG∥BM，G∈平面A₁DC，
則∠A₁EG=∠EA₁H，
在△EA₁H中，EA₁=a，EH=DE=$\sqrt{2}$a，A₁H=$\sqrt{{a}^{2}+2{a}^{2}-2•a•\sqrt{2}a•（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{5}a$，則∠EA₁H為定值，即∠A₁EG為定值，則B正確；
對于C，連接A₁O，可得DE⊥A₁O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A₁MO，
即有DE⊥A₁C，由A₁C在平面ABCD中的射影為AC，
可得AC與DE垂直，但AC與DE不垂直．
則不存在某個(gè)位置，使DE⊥MO，則C不正確；
對于D，連接OA，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得
三棱錐A₁-ADE外接球球心為O，半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
即有三棱錐A₁-ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值．則D正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，考查空間想象能力和推理能力，是中檔題．