Question

19．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a，b，c∈R⁺．
（Ⅰ）若ab=1，證明：（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²≥4；
（Ⅱ）若a+b+c=3，且$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤（1+1+1）（a+b+c）=9，$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，可得9≤|2x-1|-|x-2|+3，分類討論，即可求x的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：∵ab=1，∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²=a²+b²+2≥2ab+2=4；
（Ⅱ）解：（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤（1+1+1）（a+b+c）=9，
∵$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤|2x-1|-|x-2|+3恒成立，
∴9≤|2x-1|-|x-2|+3，
∴|2x-1|-|x-2|≥6，
x＜$\frac{1}{2}$，不等式化為-2x+1+x-2≥6，∴x≤-7，∴x≤-7，
$\frac{1}{2}≤x≤2$，不等式化為2x-1+x-2≥6，∴x≥3，不成立；
x＞2，不等式化為2x-1-x+2≥6，∴x≥5，∴x≥5；
綜上所述，x≤-7或x≥5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．