Question

已知圓O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，設(shè)點(diǎn)p（x，y）是圓O₁上的動(dòng)點(diǎn)．
①求P點(diǎn)到直線l：x+y-1=0距離的最值，并求對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)；
②分別求

y

x

，y-x，（x+3）²+（y+4）²的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：①求出圓心到直線l：x+y-1=0距離，即可求P點(diǎn)到直線l：x+y-1=0距離的最值，從而求對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)；
②利用

y

x

=t，y-x=k，與圓方程聯(lián)立，可得最值，求出（-3，-4）與（3，1）的距離為

36+25

=

61

，即可求出（x+3）²+（y+4）²的最值．

解答： 解：①圓O₁：（x-3）²+（y-1）²=1的圓心為（3，1），半徑為1，
圓心到直線l：x+y-1=0距離為

3 2

2

，
∴P點(diǎn)到直線l：x+y-1=0距離的最大值為

3 2

2

+1，最小值為

3 2

2

-1，
過(guò)（3，1）與直線l：x+y-1=0垂直的直線方程為x-y-2=0，與圓O₁：（x-3）²+（y-1）²=1聯(lián)立，
可得對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3+

2

2

，1+

2

2

)，(3-

2

2

，1-

2

2

)．
②設(shè)

y

x

=t，則y=tx，代入圓O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，
可得（x-3）²+（tx-1）²=1，
∴（1+t²）x²-（6+2t）x+9=0，
∴△=（6+2t）²-36（1+t²）=0，
∴t=0或t=

3

4

，
∴

y

x

的最大值為

3

4

，

y

x

最小值為0；
設(shè)y-x=k，則代入圓O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，
可得（x-3）²+（x+k-1）²=1，
∴2x²-（8-2k）x²+k²-2k+9=0，
∴△=（8-2k）²-8（k²-2k+9）≥0，
∴-2-

2

≤k≤-2+

2

，
∴y-x的最大值為-2+

2

，y-x最小值為-2-

2

；
（-3，-4）與（3，1）的距離為

36+25

=

61

，
∴（x+3）²+（y+4）²的最大值為（

61

+1）²=62+2

61

；（x+3）²+（y+4）²的最小值為（

61

-1）²=62-2

61

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓方程的綜合應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．