Question

如圖，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，CC₁=2，AB=

2

，∠BCC₁=

π

3

（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）當(dāng)E為CC₁的中點時，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由余弦定理得BC₁=

3

，從而C₁B⊥BC，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（2）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M，連DF，則DF∥A₁B₁，連DN，則DN∥BE，連MN，則MN∥A₁B₁，連MF，則MF∥BF，且MNDF為矩形，MD∥AE，從而∠MDF為所求二面角的平面角，由此能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

解答： （1）證明：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理有：
BC₁=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

，
故有BC2+BC12=CC12．
∴C₁B⊥BC，而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（2）解：取EB₁的中點D，A₁E的中點F，
BB₁的中點N，AB₁的中點M，
連DF，則DF∥A₁B₁，連DN，則DN∥BE，
連MN，則MN∥A₁B₁，連MF，則MF∥BF，且MNDF為矩形，
MD∥AE，又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁，
故∠MDF為所求二面角的平面角，
在Rt△DFM中，∵△BCE為正三角形，
∴DF=

1

2

A1B1=

2

2

，
∴MF=

1

2

BE=

1

2

CE=

1

2

，
∴tan∠MDF=

1 2

2 2

=

2

2

．
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．