Question

14．已知離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AB：y=k（x+1）交橢圓C于A、B兩點，交直線l：x=-2于點M，設(shè)直線PA、PB、PM的斜率依次為k₁、k₂、k₃，問k₁、k₃、k₂是否成等差數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由直線方程，求得M點坐標，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式驗證是否k₁+k₂=2k₃，等式成立，若成立則k₁、k₃、k₂成等差數(shù)列．否則不成等差數(shù)列．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，則b²=a²-c²=c²，
∴將P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，即$\frac{1}{2{c}^{2}}+\frac{1}{2{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
則a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=k（x+1），k顯然存在且不為0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
當x=-2時，y=-k，則M（-2，-k），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$，k₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+k，
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{2}+1）+（{y}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k-\sqrt{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
=2k+$\sqrt{2}$，
∴k₁+k₂=2k₃，
∴k₁、k₃、k₂成等差數(shù)列．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，直線的斜率公式和等差數(shù)列中項性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．