Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A₂為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段PA₂的中點(diǎn)，且直線(xiàn)PA₂與直線(xiàn)OM的斜率之積恒為-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0），求線(xiàn)段AB長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓Q的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，求出a．設(shè)P（x₀，y₀），通過(guò)直線(xiàn)PA₂與OM的斜率之積恒為-$\frac{1}{2}$，列方程化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)求出b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理求出AB的垂直平分線(xiàn)方程，得出N點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得出k²的范圍，利用弦長(zhǎng)公式得出|AB|化簡(jiǎn)，即出得出|AB|的范圍．

解答 解：（1）∵橢圓Q的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$．∴A₂（$\sqrt{2}$，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則M（$\frac{{x}_{0}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
∵直線(xiàn)PA₂與OM的斜率之積恒為-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²=1，∴b=1，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x+1）（k≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)N（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+1）=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分線(xiàn)方程為：y-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
令y=0得x=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴-$\frac{1}{4}$＜-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$＜0，
解得：0＜k²$＜\frac{1}{2}$．
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{4}-4（2{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}}{1+2{k}^{2}}$
=2$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}$]，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜|AB|＜2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，設(shè)而不求的思想方法，考查計(jì)算能力．