Question

已知y=

1+sinx

2+cosx

，求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：法一：去分母，原式化為sinx-ycosx=2y-1，即sin（x-φ）=

2y-1

1+y2

．利用正弦函數(shù)的有界性即可求解；
法二：令x₁=-cosx，y₁=-sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示單位圓，則所給函數(shù)y就是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，1）以及該圓上的動(dòng)點(diǎn)M（-cosx，-sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可．

解答： 解法一：去分母，原式化為
sinx-ycosx=2y-1，
即sin（x-φ）=

2y-1

1+y2

．
故

|2y-1|

1+y2

≤1，解得0≤y≤

4

3

．
則y_max=

4

3

；
解法二：令x₁=-cosx，y₁=-sinx，有x₁²+y₁²=1．
它表示單位圓，則所給函數(shù)y就是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，1）
以及該圓上的動(dòng)點(diǎn)M（-cosx，-sinx）的直線PM的斜率k，
故只需求此直線的斜率k的最值即可．由

|1-2k|

1+k2

=1，得k=0或

4

3

．
則y_max=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值的求法，考查三角函數(shù)的最值，注意運(yùn)用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，以及直線的斜率的運(yùn)用，與直線和圓相切的條件，屬于中檔題．