【題目】已知曲線C上任一點(diǎn)P到點(diǎn)F1,0的距離比它到直線的距離少1.

1求曲線C的方程;

2過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線與曲線C分別交于點(diǎn)A、B,試問(wèn):直線AB的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;2直線AB的斜率為定值-1,理由詳見(jiàn)解析。

【解析】

試題分析:

1本問(wèn)考查求軌跡方程問(wèn)題,根據(jù)題中條件,曲線C上的點(diǎn)P到定點(diǎn)F1,0的距離比它到定直線l:x=-2的距離少1,那么可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線C上的點(diǎn)到定點(diǎn)F1,0的距離與到定直線x=-1的距離相等,這樣由拋物線定義可知,曲線C為拋物線,以F為焦點(diǎn),以直線l為準(zhǔn)線,所以p=2,拋物線方程為,于是得到曲線C的方程y2=4x;

2由直線傾斜角互補(bǔ)可知,兩直線QA,QB的斜率互為相反數(shù),那么將QA,QB的斜率可以用坐標(biāo)表示出來(lái),設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,于是 ,由于A,B兩點(diǎn)在拋物線上滿足,,所以,則。所以整理得出: ,所以直線AB的斜率為定值-1。第2問(wèn)考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求學(xué)生能夠?qū)缀螁?wèn)題坐標(biāo)化,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

試題解析:1因?yàn)镻到點(diǎn)F1,0的距離比它到直線的距離少1

所以P到點(diǎn)F1,0的距離與它到直線的距離相等

所以由拋物線定義可知點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線

所以P=2,

所以曲線C的方程為

2直線AB的斜率為定值-1,理由如下:

設(shè)

因?yàn)橹本AQ,BQ傾斜角互補(bǔ)

所以

所以

所以

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