Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）若PD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，且三棱錐P-ACE的體積為$\frac{\sqrt{2}}{12}$，求AE與平面PDB所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需證AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB，平面AEC⊥面PDB
（Ⅱ）由V_P-ACE=V_P-ABCD -V_P-ACD -V_E-ABC，設(shè)E點(diǎn)到平面ABC的距離為h，代入上式，可解得h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即E為PB的中點(diǎn)．設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，可得∠AEO為AE與平面PDB所的角，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=AO$，可得∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45⁰

解答 解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥面PDB．---------------------（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閂_P-ACE=V_P-ABCD -V_P-ACD -V_E-ABC
設(shè)E點(diǎn)到平面ABC的距離為h，代入上式，可解得h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即E為PB的中點(diǎn)．
設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，
∴O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，
∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}PD$，
又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=AO$，
∴∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45⁰．----------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，等體積法求高，線面角的求解，屬于中檔題．