Question

18．在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為x的正四棱柱，
（1）用x表示正四棱柱的側(cè)面積；
（2）x為何值時(shí)，正四棱柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

分析 （1）設(shè)四棱柱的底面邊長為x，側(cè)棱長為y，可得y=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，由此用x表示正四棱柱的側(cè)面積；
（2）由（1）可得S_側(cè)=-2$\sqrt{6}$（x-$\sqrt{2}$）²+4$\sqrt{6}$，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)四棱柱的底面邊長為x，側(cè)棱長為y，則有$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{2}=\frac{\sqrt{16-4}-y}{\sqrt{16-4}}$
則y=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴S_側(cè)=4x×y=4x（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x）（0＜x＜2$\sqrt{2}$）
（2）S_側(cè)=-2$\sqrt{6}$（x-$\sqrt{2}$）²+4$\sqrt{6}$，
則當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，S_側(cè)有最大值．
即四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，該四棱柱的底面邊長為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用幾何體的軸截面分析量的等量關(guān)系，注意不同量的轉(zhuǎn)化．