Question

3．若函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （-1，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=0即a=$\frac{lnx+1}{x}$有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，畫出圖象，通過圖象即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R有兩個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)為f（x）=0即a=$\frac{lnx+1}{x}$有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．
令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
g（x）在x=1處取得極大值，且為最大值1．
當(dāng)x→+∞，y→0．
畫出函數(shù)y=g（x）的圖象，
由圖象可得0＜a＜1時(shí)，y=g（x）和y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．