Question

9．設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積，即T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n，若${a_1}=2，\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1$，當(dāng)T_n=11時(shí)，n的值為10．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}=1$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由累積法求得T_n，則答案可求．

解答 解：由${a_1}=2，\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1$，
可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}=1$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a}_{n}=1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$，
則T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n=$\frac{2}{1}•\frac{3}{2}…\frac{n+1}{n}=n+1$，
由T_n=n+1=11，得n=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．